生活在树上(Living on a Tree)

题目描述

小智生活在「传智国」，这是一个有 $n$ 个城市的国家，各个城市由 $n-1$ 条道路相连。

每个城市都有一个财富指数 $w_i$ ，我们定义，小智从城市 $a$ 走到城市 $b$ 的代价是 $\mathrm{dis}_{a, b} = \bigoplus \limits_{u \in \mathrm{path}\left(a, b\right)} w_u$，其中 $\bigoplus$ 表示按位异或（如果你不知道什么是按位异或，请参见题目下方的提示/说明），$\mathrm{path}\left(a,b\right)$ 表示 $a$ 到 $b$ 的简单路径上的点集（包括 $a$ 和 $b$）。也即 $\mathrm{dis}_{a, b}$ 表示将 $a$ 与 $b$ 的简单路径上所有点写作 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 后，求 $w_{u_1} \bigoplus w_{u_2}\bigoplus w_{u_3} \dots$ 的结果。

有一天，小智获得了去参加传智杯的机会，他在前往比赛地的路上想到了一个问题，但他好像不会做，于是他把这个题告诉了你。聪明的同学，你可以帮帮他吗？

小智说：「由于我们的国家只有 $n$ 个城市和 $n-1$ 条道路，那么我们的国家就相当于是一棵树。我在想，在我们的国家中，是否存在城市满足『到城市 $a$ 的代价和到城市 $b$ 的代价的异或等于 $k$』。好难哦，我想不出来，你能帮帮我吗？」

也就是说，给定城市 $a, b$ 和整数 $k$，请你计算是否存在城市 $t$ 满足 $\mathrm{dis}_{t, a} \bigoplus \mathrm{dis}_{t, b} = k$。

输入格式

第一行有两个整数 $n$，$m$，表示国家的城市数和询问的个数。

第二行有 $n$ 个整数 $w_i$，表示 $i$ 号城市的财富指数。

接下来 $n-1$ 行，每行有两个整数 $x, y$，表示城市 $x$ 与城市 $y$ 有一条边相连。

接下来 $m$ 行，每行有三个整数 $a, b, k$，表示小智从城市 $a$ 走到城市 $b$，$k$ 的含义与题目描述一致。

输出格式

输出共 $m$ 行。

对于第 $i$ 个询问，如果存在至少一个城市 $t$ 满足要求，则输出 Yes。

如果不存在任何一个城市满足条件，则输出 No。

输出字符串大小写不敏感，例如，Yes、yES、YES、yes 等都算作 Yes。

样例输入 #1

5 3
2 6 8 1 5
1 2
1 3
2 4
2 5
1 2 4
2 3 12
2 3 10

样例输出 #1

nO
No
YeS

样例输入 #2

5 10
93 97 100 93 93
2 1
3 2
4 3
5 1
5 2 93
4 1 93
3 2 100
3 2 100
2 3 9999998
1 2 93
2 3 97
1 2 93
2 3 97
4 3 93

样例输出 #2

no
nO
yEs
yEs
No
yEs
yeS
YES
yES
yes

数据范围

相关概念解释

「树」：树是一个有 $n$ 个结点和 $n-1$ 条边的无向简单连通图。

「按位异或」：按位异或是一个二元运算，步骤是将两个数的二进制位按位比较，相同为 $0$，不同为 $1$ 。例如：$3 \bigoplus 5 = (011)_2 \bigoplus (101)_2 = (110)_2 = 6$。

样例 1 解释

下图为传智国的地图。

$\forall t \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$，都不可能有 $\mathrm{dis} _{t,1} \bigoplus \mathrm{dis}_{t, 2} = 4$，$\mathrm{dis}_{t, 2} \bigoplus \mathrm{dis}_{t, 3} = 12$，于是输出 No；

而取 $t=4$，有 $\mathrm{dis}_{t, 2} \bigoplus \mathrm{dis}_{t, 3} = 10$，于是输出 Yes。

数据规模与约定

对于所有测试点，保证 $1 < n \leq 5 \times 10^5$，$1 \leq m \leq 5 \times 10^5$，$0 \leq w_i \leq 1\times 10^7$。

对于每次询问，保证 $1 \leq a,b \leq n$ 且 $a \neq b$，$0 \leq k \leq 1\times 10^7$。

提示

• 请注意常数因子对程序效率造成的影响。
• 对于两个 $x, y \leq 10^7$，$x \bigoplus y$ 可能大于 $10^7$，请特别注意这一点。

知识点与难度

本题涉及的知识点从属于 CSP-S，难度（CF Rating）：1950。

测试点分布

出处：原题链接